Чтение графика производной функции. Чтение графиков

Элементы математического анализа в ЕГЭ Малиновская Галина Михайловна [email protected] Справочный материал Таблица производных основных функций.  Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций).  Производная сложной функции.  Геометрический смысл производной.  Физический смысл производной.  Справочный материал Точки экстремума (максимума или минимума) функции, заданной графически.  Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции, непрерывной на заданном отрезке.  Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции.  Физические приложения  1.1 Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t= 3с.  1.2 Материальная точка движется 1 3 прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? Решение: Ищем производную х(t) (функции пути по времени).  В задаче 1.1 подставляем вместо t его значение и считаем скорость (Ответ: 59).  Во задаче 1.2 приравниваем найденную производную к данному числу и решаем уравнение относительно переменной t. (Ответ: 7).  Геометрические приложения 2.1 Прямая 𝑦 = 7𝑥 − 5 параллельна касательной к графику 2 функции 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Найдите абсциссу точки касания. 2.2 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 1 является касательной к 2 графику функции 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 . Найдите a. 2.3 Прямая 𝑦 = −5𝑥 + 8 является касательной к 2 графику функции 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. 2.4 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 4 является касательной к графику 2 функции 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Найдите c. Решение: В задаче 2.1 ищем производную функции и приравниваем к угловому коэффициенту прямой (Ответ: 0,5).  В задачах 2.2-2.4 составляем систему из двух уравнений. В одном приравниваем функции, в другом приравниваем их производные. В системе с двумя неизвестными (переменной x и параметра) ищем параметр. (Ответы: 2.2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 .  2.6 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 .  2.7 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке.x=10. 𝑥0 = 0 Решение:     Значение производной функции в точке - это тангенс угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке. «Дорисовываем» прямоугольный треугольник и ищем тангенс соответствующего угла, который берем положительным, если касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ох (касательная «растёт») и отрицательным, если угол тупой (касательная убывает). В задаче 2.7 необходимо провести касательную через указанную точку и начало координат. Ответы: 2.5) 0,25; 2.6) -0,25; 2.7) -0,6. Чтение графика функции или графика производной функции  3.1 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.  3.2 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. Решение: Знак производной связан с поведением функции.  Если производная положительна, то выделяем ту часть графика функции, где функция возрастает. Если производная отрицательна то там, где функция убывает. Выделяем соответствующий этой части промежуток на оси Ох.  В соответствии с вопросом задачи или пересчитываем количество целых чисел, входящих в данный промежуток или находим их сумму.  Ответы: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). В первую очередь смотрим, что на рисунке: график функции или график производной.  Если это график производной, то нас интересуют только знаки производной и абсциссы точек пересечения с осью Ох.  Для наглядности можно нарисовать более привычный рисунок со знаками производной по полученным промежуткам и поведением функции.  В соответствии с рисунком ответить на вопрос задачи. (Ответ: 3.3) 44).   3.4 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].  3.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11) . Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10]. Решение: Ищем точки пересечения графика производной с осью Ох, выделяя ту часть оси, которая указана в задаче.  Определяем знак производной на каждом из полученных промежутков (если график производной ниже оси-то «-», если выше-то «+»).  Точками максимума будут те, где знак сменился с «+» на «-», минимума- с «-» на «+». Точками экстремума те и другие.  Ответы: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.  3.7 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение:    Если производная меняет знак на рассматриваемом отрезке, то решение основано на теореме: если непрерывная на отрезке функция имеет на нем единственную точку экстремума и это точка максимума (минимума), то наибольшее (наименьшее) значение функции на этом отрезке достигается в данной точке. Если непрерывная на отрезке функция монотонна, то она достигает своих наименьшего и наибольшего значений на данном отрезке на его концах. Ответы: 3.6) -3; 3.7) -7.  3.8 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.  3.9 На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?  4.2 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-5;7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.  4.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2;6].  4.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней. Решение: 4.6 Так как на рисунке изображен график производной, а касательная параллельна данной прямой, то производная функции в этой точке равна -2. Ищем точки на графике производной с ординатой равной -2 и считаем их количество. Получаем 5.  Ответы: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Решение: Если прямая параллельна оси Ох, то её угловой коэффициент равен нулю.  Угловой коэффициент касательной равен нулю, значит производная равна нулю.  Ищем абсциссу точки пересечения графика производной с осью Ох.  Получаем -3.   4.9 На рисунке изображён график функции y=𝑓 ′ (x) производная функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . В скольких из этих точек производная функции f(x) возрастает? Геометрический смысл определенного интеграла  5.1 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) - одна из первообразных функции f(x). Решение:     Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задачах 5.2 и 5.3 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность.  5.2 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − - одна из 8 первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение:     Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задаче 5.2 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность. Удачи на ЕГЭ по математике 

Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.
Приведем пример такой задачи: на доске (например, с помощью проектора) учащимся предлагается график производной, по нему было сформулировано 10 заданий (не совсем корректные или дублирующие вопросы отвергались).
Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].
По графику производной y = f"(x) определите:

1) количество промежутков возрастания функции y = f(x);
2) длину промежутка убывания функции y = f(x);
3) количество точек экстремума функции y = f(x);
4) точку максимума функции y = f(x);
5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума;
6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке ;
7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2];
8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси Oy;
9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси Ox угол 60°;
10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент касательной принимает наименьшее значение.
Ответ : 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Для закрепления навыков исследования свойств функции на дом ученикам можно предложить задачу, связанную с чтением одного и того же графика, но в одном случае - это график функции, а в другом - график ее производной.

Статья опубликована при поддержке форума сисадминов и программистов. На "CyberForum.ru" Вы найдёте форумы о таких темах, как программирование, компьютеры, обсуждение софта, web-программирование, наука, электроника и бытовая техника, карьера и бизнес, отдых, человек и общество, культура и искусство, дом и хозяйство, авто, мото и многое другое. На форуме Вы сможете получить бесплатную помощь. Подробнее Вы узнаете на сайте, который располагается по адресу: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/ .

Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен:
а) график функции y = f(x);
б) график производной y = f"(x).
По графику определите:
1) точки минимума функции y = f(x);
2) количество промежутков убывания функции y = f(x);
3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке ;
4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси Ox (или совпадает с ней).
Ответы :
а) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
б) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Для проведения контроля можно организовать работу в парах: каждый учащийся заранее заготавливает на карточке своему партнеру график производной и ниже предлагает 4–5 вопросов на определение свойств функции. На уроках они обмениваются карточками, выполняют предложенные задания, после чего каждый проверяет и оценивает работу партнера.

Обобщающий урок на тему:

«Применение производной и ее графика для чтения свойств функции»

Тип урока: обобщающий урок с применением ИКТ в форме презентации.

Цели урока:

Образовательные:

Содействовать усвоению учащимися применению производной в практических заданиях;

Научить учащихся четко использовать свойства функции и производной.

Развивающие:

Развивать умения анализировать вопрос задания и делать выводы;

Развивать умения применять имеющиеся знания в практических заданиях.

Воспитательные:

Воспитание интереса к предмету;

Необходимость данных теоретических и практических умений для продолжения учебы.

Задачи урока:

Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;

Подготовиться к контрольной работе.

План урока.

1. Актуализация опорных знаний (АОЗ).

2. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

3. Тестирование (В8 из ЕГЭ).

4. Взаимопроверка, выставление оценок «соседу».

5. Подведение уроков урока.

Оборудование: компьютерный класс, доска, маркер, тесты (2 варианта).

Ход урока.

Оргмомент.

Учитель . Здравствуйте, садитесь.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

При подготовке к ЕГЭ по математике в КИМах даны задачи на применение графика производной для исследования функций. Поэтому на данном уроке мы должны систематизировать свои знания по этой теме и научиться быстро находить ответы на вопросы заданий В8.

Слайд №1.

Тема: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций»

Задачи урока:

Отработка ЗУН применения производной, ее геометрического смысла и графика производной для определения свойств функций.

Развитие оперативности выполнения тестов ЕГЭ.

Воспитание таких качеств личности как внимательность, умение работать с текстом, умение работать с графиком производной

2.Актуализация опорных знаний (АОЗ). Слайды с № 4 по № 10.

Сейчас на экране будут появляться вопросы для повторения. Ваша задача: дать четкий и краткий ответ по каждому пункту. Верность вашего ответа можно будет проверить на экране.

( На экране сначала появляется вопрос, после ответов учащихся для сверки появляется верный ответ.)

Список вопросов для АОЗ.

Определение производной.

Геометрический смысл производной.

Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции.

Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

6 .Необходимые и достаточные условия экстремума

7 . Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

(Учащиеся отвечают на каждый пункт, сопровождая свои ответы, записями и чертежами на доске. При ошибочных и неполных ответах, одноклассники исправляют и дополняют их. После ответа учащихся, на экране появляется верный ответ. Таким образом, учащиеся сразу могут определить верность своего ответа.)

3. Отработка знаний, умений и навыков по теме. Слайды № 11 по № 15.

Учащимся предлагаются задания из КИМов ЕГЭ по математике прошлых лет, из сайтов в интернете на применение производной и ее графика для исследования свойств функций. Задания появляются последовательно. Решения учащиеся оформляют на доске, либо устными рассуждениями. Затем на слайде появляется верное решение и сверяется с решением учащихся. Если в решении допущена ошибка, то она анализируется всем классом.

Слайд №16 и №17.

Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Тестирование (В8 из ЕГЭ). Слайды с № 18 по № 29. Слайд № 30 – ключи к тесту.

Учитель : Итак, мы обобщили ваши знания по данной теме: повторили основные свойства производной, решили задачи, связанные с графиком производной, разобрали сложные и проблемные моменты применения производной и графика производной для исследования свойств функций.

Сейчас проведем тестирование в 2 варианта. Задания будут появляться на экран оба варианта, одновременно. Вы изучаете вопрос, находите ответ, заносите его в бланк для ответов. После завершение теста, меняетесь бланками и проверяете работу соседа по готовым ответам. Выставляете оценку (до 10 баллов – «2», с 11 до 15 баллов –«3», с 16 до 19 баллов – «4», более 19 баллов – «5».).

Подведение итогов урока

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени.

Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Бланки с ответами сдайте. Оценка за урок вам уже известна и будет выставлена в журнал.

Считаю, что класс подготовился к контрольной работе.

Домашняя работа будет творческая . Слайд № 33 .

Слайд 12

Симметрия относительно прямой y=x

Графики данных функций возрастаютприа>1 иубывают при 0

Слайд 13

На одном из рисунков изображен график функции y=2-x. Укажите этот рисунок. График показательной функции График показательной функции проходит через точку (0, 1).Так как основание степени меньше 1,то данная функция должна быть убывающей.

Слайд 14

На одном из рисунков изображен график функции y=log5 (x-4). Укажите номер этого графика. График логарифмической функции y=log5xпроходит через точку (1;0) ,тогда,еслих -4 =1,тоу=0,х=1+4, х=5. (5;0) – точка пересечения графика с осью ОХ Если х -4 = 5, то у=1, х=5+4, х=9, График логарифмической функции 9 5 1

Слайд 15

Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции проведены все касательные, параллельныепрямой y=5-2x (или совпадающей с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные. K = tga = f’(xo) По условию k=-2.Следовательно f’(xo)=-2 Проводим прямую у=-2.Она пересекает график в двухточках,значит касательныек функции проведены в двух точках. Нахождение числа касательных к графику функции по графику ее производной

Слайд 16

Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f(x), в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. Угловой коэффициент прямых, параллельных осиабсцисс или совпадающих с ней равен нулю. Следовательно К=tg a = f `(xo)=0 Ось ОХ пересекает данный график в четырехточках. Нахождение числа касательных к функции по графику ее производной

Слайд 17

Функция y=f(x)определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точекграфика функции y=f(x), в которых касательные к графику наклонены под углом 135ок положительному направлению оси абсцисс. K = tg 135o= f’(xo) tg 135o=tg(180о-45o)=-tg45o=-1Следовательноf`(xo)=-1 Проводим прямую у=-1.Она пересекает график в трех точках,значит касательные к функции проведены в трехточках. Нахождение числа касательных к функции по графику ее производной

Слайд 18

Функцияy=f(x) определена на промежутке[-2;6]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьшийугловой коэффициент k=tg a=f’(xo) Наименьшеезначениеу=-3 производная функции принимает в точке х=2. Следовательно, касательная к графику имеет наименьший угловой коэффициент в точке х=2 Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной функции -3 2

Слайд 19

Функция y=f(x)определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссуточки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент. k=tg a=f’(xo) Наибольшее значение у=3производная функции принимает в точке х=-5. Следовательно касательная к графику имеетнаибольший угловой коэффициентв точке х=-5 Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной функции 3 -5

Слайд 20

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной f `(x) в точке хо f ’(xo) =tg a Так как на рисунке а - тупой угол, то tg a

Слайд 21

Нахождение минимума (максимума) функции по графику ее производной

В точке х=4производная меняет знак с минусанаплюс. Значитх=4является точкой минимумафункцииy=f(x) 4 В точкех=1производная меняет знак с плюсана. минусЗначитх=1является точкой максимумафункцииy=f(x))

Слайд 22

Самостоятельная работа

Рис.11) Найти область определения функции. 2) Решить неравенствоf(x) ≥ 0 3) Определить промежутки убывания функции. Рис.2–график производнойфункции y=f(x) 4)Найти точки минимума функции. 5) Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольшийугловой коэффициент. Рис.11) Найти область значений функции. 2) Решить неравенствоf(x)≤ 0 3) Определить промежутки возрастания функции. Рис.2–график производнойфункции y=f(x) 4)Найти точки максимума функции. 5) Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент. 1 Вариант 2 Вариант